机器学习实战教程（十三）：树回归基础篇之CART算法与树剪枝

一、前言

本篇文章将会讲解CART算法的实现和树的剪枝方法，通过测试不同的数据集，学习CART算法和树剪枝技术。

二、将CART（Classification And Regression Trees）算法用于回归

在之前的文章，我们学习了决策树的原理和代码实现，使用使用决策树进行分类。决策树不断将数据切分成小数据集，直到所有目标标量完全相同，或者数据不能再切分为止。决策树是一种贪心算法，它要在给定时间内做出最佳选择，但不关心能否达到全局最优。

1、ID3算法的弊端

回忆一下，决策树的树构建算法是ID3。ID3的做法是每次选取当前最佳的特征来分割数据，并按照该特征的所有可能取值来切分。也就是说，如果一个特征有4种取值，那么数据将被切分成4份。一旦按某特征切分后，该特征在之后的算法执行过程中将不会再起作用，所以有观点认为这种切分方式过于迅速。

除了切分过于迅速外，ID3算法还存在另一个问题，它不能直接处理连续型特征。只有事先将连续型特征离散化，才能在ID3算法中使用。但这种转换过程会破坏连续型变量的内在特性。

2、CART算法

与ID3算法相反，CART算法正好适用于连续型特征。CART算法使用二元切分法来处理连续型变量。而使用二元切分法则易于对树构建过程进行调整以处理连续型特征。具体的处理方法是：如果特征值大于给定值就走左子树，否则就走右子树。

CART算法有两步：

• 决策树生成：递归地构建二叉决策树的过程，基于训练数据集生成决策树，生成的决策树要尽量大；自上而下从根开始建立节点，在每个节点处要选择一个最好的属性来分裂，使得子节点中的训练集尽量的纯。不同的算法使用不同的指标来定义"最好"：
• 决策树剪枝：用验证数据集对已生成的树进行剪枝并选择最优子树，这时损失函数最小作为剪枝的标准。

决策树剪枝我们先不管，我们看下决策树生成。

在决策树的文章中，我们先根据信息熵的计算找到最佳特征切分数据集构建决策树。CART算法的决策树生成也是如此，实现过程如下：

• 使用CART算法选择特征
• 根据特征切分数据集合
• 构建树

3、根据特征切分数据集合

我们先找软柿子捏，CART算法这里涉及到算法，实现起来复杂些，我们先挑个简单的，即根据特征切分数据集合。编写代码如下：

运行结果如下图所示：

我们先创建一个单位矩阵，然后根据切分规则，对数据矩阵进行切分。可以看到binSplitDataSet函数根据特定规则，对数据矩阵进行切分。

现在OK了，我们已经可以根据特征和特征值对数据进行切分了，mat0存放的是大于指定特征值的矩阵，mat1存放的是小于指定特征值的矩阵。接下来，我们就看看如何使用CART算法选择最佳分类特征。

4、CART算法

假设X与Y分别为输入和输出变量，并且Y是连续变量，给定训练数据集：

其中，D表示整个数据集合，n为特征数。

一个回归树对应着输入空间（即特征空间）的一个划分以及在划分的单元上的输出值。假设已将输入空间划分为M个单元R1,R2,...Rm，并且在每个单元Rm上有一个固定的输出值Cm，于是回归树模型可表示为：

这样就可以计算模型输出值与实际值的误差：

我们希望每个单元上的Cm，可以是的这个平方误差最小化。易知，当Cm为相应单元的所有实际值的均值时，可以到最优：

那么如何生成这些单元划分？

假设，我们选择变量 xj 为切分变量，它的取值 s 为切分点，那么就会得到两个区域：

当j和s固定时，我们要找到两个区域的代表值c1，c2使各自区间上的平方差最小：

前面已经知道c1，c2为区间上的平均：

那么对固定的 j 只需要找到最优的s，然后通过遍历所有的变量，我们可以找到最优的j，这样我们就可以得到最优对（j，s），并得到两个区间。

这样的回归树通常称为最小二乘回归树（least squares regression tree）。

上述过程表示的算法步骤为：

除此之外，我们再定义两个参数，tolS和tolN，分别用于控制误差变化限制和切分特征最少样本数。这两个参数的意义是什么呢？就是防止过拟合，提前设置终止条件，实际上是在进行一种所谓的预剪枝（prepruning）操作，在下一小节会进行进一步讲解。

老规矩，先看下我们的测试数据集。

数据集下载地址：数据集下载

如上图所示，数据是2维的。先看下数据的分布情况，编写代码如下：

运行结果如下图所示：

可以看到，这是一个很简单的数据集，我们先利用这个数据集测试我们的CART算法。

现在，编写代码如下：

运行结果如下图所示：

可以看到，切分的最佳特征为第1列特征，最佳切分特征值为0.48813，这个特征值怎么选出来的？就是根据误差估计的大小，我们选择的这个特征值可以使误差最小化。

切分的特征和特征值我们已经选择好了，接下来就是利用选出的这两个变量创建回归树了。

创建方法很简单，我们根据切分的特征和特征值切分出两个数据集，然后将两个数据集分别用于左子树的构建和右子树的构建，直到无法找到切分的特征为止。因此，我们可以使用递归实现这个过程，编写代码如下：

运行结果如下图所示：

从上图可知，这棵树只有两个叶结点。

我们换一个复杂一点的数据集，分段常数数据集。

数据集下载地址：数据集下载

先看下数据：

第一列的数据都是1.0，为了可视化方便，我们将第1列作为x轴数据，第2列作为y轴数据。对数据进行可视化，编写代码如下：

运行结果如图下所示：

可以看到，这个数据集是分段的。我们针对此数据集创建回归树。代码同上，运行结果如下图所示：

可以看到，该数的结构中包含5个叶结点。

现在为止，已经完成回归树的构建，但是需要某种措施来检查构建过程是否得当。这个技术就是剪枝（tree pruning）技术。

三、树剪枝

一棵树如果结点过多，表明该模型可能对数据进行了“过拟合”。

通过降低树的复杂度来避免过拟合的过程称为剪枝（pruning）。上小节我们也已经提到，设置tolS和tolN就是一种预剪枝操作。另一种形式的剪枝需要使用测试集和训练集，称作后剪枝（postpruning）。本节将分析后剪枝的有效性，但首先来看一下预剪枝的不足之处。

1、预剪枝

预剪枝有一定的局限性，比如我们现在使用一个新的数据集。

数据集下载地址：数据集下载

用上述代码绘制数据集看一下：

可以看到，对于这个数据集与我们使用的第一个数据集很相似，但是区别在于y的数量级差100倍，数据分布相似，因此构建出的树应该也是只有两个叶结点。但是我们使用默认tolS和tolN参数创建树，你会发现运行结果如下所示：

可以看到，构建出的树有很多叶结点。产生这个现象的原因在于，停止条件tolS对误差的数量级十分敏感。如果在选项中花费时间并对上述误差容忍度取平均值，或许也能得到仅有两个叶结点组成的树：

可以看到，将参数tolS修改为10000后，构建的树就是只有两个叶结点。然而，显然这个值，需要我们经过不断测试得来，显然通过不断修改停止条件来得到合理结果并不是很好的办法。事实上，我们常常甚至不确定到底需要寻找什么样的结果。因为对于一个很多维度的数据集，你也不知道构建的树需要多少个叶结点。

可见，预剪枝有很大的局限性。接下来，我们讨论后剪枝，即利用测试集来对树进行剪枝。由于不需要用户指定参数，后剪枝是一个更理想化的剪枝方法。

2、后剪枝

使用后剪枝方法需要将数据集分成测试集和训练集。首先指定参数，使得构建出的树足够大、足够复杂，便于剪枝。接下来从上而下找到叶结点，用测试集来判断这些叶结点合并是否能降低测试集误差。如果是的话就合并。

为了演示后剪枝，我们使用ex2.txt文件作为训练集，而使用的新数据集ex2test.txt文件作为测试集。

测试集下载地址：数据集下载

现在我们使用ex2.txt训练回归树，然后利用ex2test.txt对回归树进行剪枝。我们需要创建三个函数isTree()、getMean()、prune()。其中isTree()用于测试输入变量是否是一棵树，返回布尔类型的结果。换句话说，该函数用于判断当前处理的结点是否是叶结点。第二个函数getMean()是一个递归函数，它从上往下遍历树直到叶结点为止。如果找到两个叶结点则计算它们的平均值。该函数对树进行塌陷处理（即返回树平均值）。而第三个函数prune()则为后剪枝函数。编写代码如下：

运行结果如下如所示：

可以看到，树的大量结点已经被剪枝掉了，但没有像预期的那样剪枝成两部分，这说明后剪枝可能不如预剪枝有效。一般地，为了寻求最佳模型可以同时使用两种剪枝技术。

现在，可能你会问了，这叶结点只是简单的数值。这也没有拟合数据啊？回归树到底啥样啊？别急，下篇文章继续讲解。

四、总结

• CART算法可以用于构建二元树并处理离散型或连续型数据的切分。若使用不同的误差准则，就可以通过CART算法构建模型树和回归树。
• 一颗过拟合的树常常十分复杂，剪枝技术的出现就是为了解决这个问题。两种剪枝方法分别是预剪枝和后剪枝，预剪枝更有效但需要用户定义一些参数。
• 下篇文章将继续讲解回归树。
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参考资料：

• [1] 机器学习实战第八章内容
• [2] 统计学习方法第五章内容