剑指Offer(四十六):孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

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所属分类:剑指Offer
摘要

孩子们的游戏,找到最终获得礼品的孩子编号。

剑指Offer(四十六):孩子们的游戏(圆圈中最后剩下的数)

一、前言

本系列文章为《剑指Offer》刷题笔记。

刷题平台:牛客网

书籍下载:共享资源

二、题目

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢?(注:小朋友的编号是从0到n-1)

1、思路

如果只求最后一个报数胜利者的话,我们可以用数学归纳法解决该问题,为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换:

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:

例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?

变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n。

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]。

递推公式:

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

 

2、代码

Jack Cui

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