机器学习实战教程(九):支持向量机实战篇之再撕非线性SVM

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所属分类:机器学习
摘要

上篇文章讲解的是线性SVM的推导过程以及简化版SMO算法的代码实现。本篇文章将讲解SMO算法的优化方法以及非线性SVM。

机器学习实战教程(九):支持向量机实战篇之再撕非线性SVM

一、前言

上篇文章讲解的是线性SVM的推导过程以及简化版SMO算法的代码实现。本篇文章将讲解SMO算法的优化方法以及非线性SVM。

本文出现的所有代码,均可在我的github上下载,欢迎Follow、Star:

二、SMO算法优化

在几百个点组成的小规模数据集上,简化版SMO算法的运行是没有什么问题的,但是在更大的数据集上的运行速度就会变慢。简化版SMO算法的第二个α的选择是随机的,针对这一问题,我们可以使用启发式选择第二个α值,来达到优化效果。

1、启发选择方式

下面这两个公式想必已经不再陌生:

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在实现SMO算法的时候,先计算η,再更新αj。为了加快第二个αj乘子的迭代速度,需要让直线的斜率增大,对于αj的更新公式,其中η值没有什么文章可做,于是只能令:

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因此,我们可以明确自己的优化方法了:

  • 最外层循环,首先在样本中选择违反KKT条件的一个乘子作为最外层循环,然后用"启发式选择"选择另外一个乘子并进行这两个乘子的优化
  • 在非边界乘子中寻找使得 |Ei - Ej| 最大的样本
  • 如果没有找到,则从整个样本中随机选择一个样本

接下来,让我们看看完整版SMO算法如何实现。

2、完整版SMO算法

完整版Platt SMO算法是通过一个外循环来选择违反KKT条件的一个乘子,并且其选择过程会在这两种方式之间进行交替:

  • 在所有数据集上进行单遍扫描
  • 在非边界α中实现单遍扫描

非边界α指的就是那些不等于边界0或C的α值,并且跳过那些已知的不会改变的α值。所以我们要先建立这些α的列表,用于才能出α的更新状态。

在选择第一个α值后,算法会通过"启发选择方式"选择第二个α值。

3、编写代码

我们首先构建一个仅包含init方法的optStruct类,将其作为一个数据结构来使用,方便我们对于重要数据的维护。代码思路和之前的简化版SMO算法是相似的,不同之处在于增加了优化方法,如果上篇文章已经看懂,我想这个代码会很好理解。创建一个svm-smo.py文件,编写代码如下:

完整版SMO算法(左图)与简化版SMO算法(右图)运行结果对比如下图所示:

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图中画红圈的样本点为支持向量上的点,是满足算法的一种解。完整版SMO算法覆盖整个数据集进行计算,而简化版SMO算法是随机选择的。可以看出,完整版SMO算法选出的支持向量样点更多,更接近理想的分隔超平面。

对比两种算法的运算时间,我的测试结果是完整版SMO算法的速度比简化版SMO算法的速度快6倍左右。

其实,优化方法不仅仅是简单的启发式选择,还有其他优化方法,SMO算法速度还可以进一步提高。但是鉴于文章进度,这里不再进行展开。感兴趣的朋友,可以移步这里进行理论学习:

三、非线性SVM

1、核技巧

我们已经了解到,SVM如何处理线性可分的情况,而对于非线性的情况,SVM的处理方式就是选择一个核函数。简而言之:在线性不可分的情况下,SVM通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入变量映到一个高维特征空间,将其变成在高维空间线性可分,在这个高维空间中构造最优分类超平面。

根据上篇文章,线性可分的情况下,可知最终的超平面方程为:

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将上述公式用内积来表示:

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对于线性不可分,我们使用一个非线性映射,将数据映射到特征空间,在特征空间中使用线性学习器,分类函数变形如下:

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其中ϕ从输入空间(X)到某个特征空间(F)的映射,这意味着建立非线性学习器分为两步:

  • 首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F;
  • 然后在特征空间使用线性学习器分类。

如果有一种方法可以在特征空间中直接计算内积 <ϕ(xi),ϕ(x)>,就像在原始输入点的函数中一样,就有可能将两个步骤融合到一起建立一个分线性的学习器,这样直接计算的方法称为核函数方法。

这里直接给出一个定义:核是一个函数k,对所有x,z∈X,满足k(x,z)=<ϕ(xi),ϕ(x)>,这里ϕ(·)是从原始输入空间X到内积空间F的映射。

简而言之:如果不是用核技术,就会先计算线性映ϕ(x1)和ϕ(x2),然后计算这它们的内积,使用了核技术之后,先把ϕ(x1)和ϕ(x2)的一般表达式<ϕ(x1),ϕ(x2)>=k(<ϕ(x1),ϕ(x2) >)计算出来,这里的<·,·>表示内积,k(·,·)就是对应的核函数,这个表达式往往非常简单,所以计算非常方便。

这种将内积替换成核函数的方式被称为核技巧(kernel trick)。

2、非线性数据处理

已经知道了核技巧是什么,但是为什么要这样做呢?我们先举一个简单的例子,进行说明。假设二维平面x-y上存在若干点,其中点集A服从 {x,y|x^2+y^2=1},点集B服从{x,y|x^2+y^2=9},那么这些点在二维平面上的分布是这样的: 机器学习实战教程(九):支持向量机实战篇之再撕非线性SVM

蓝色的是点集A,红色的是点集B,他们在xy平面上并不能线性可分,即用一条直线分割( 虽然肉眼是可以识别的) 。采用映射(x,y)->(x,y,x^2+y^2)后,在三维空间的点的分布为:

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可见红色和蓝色的点被映射到了不同的平面,在更高维空间中是线性可分的(用一个平面去分割)。

上述例子中的样本点的分布遵循圆的分布。继续推广到椭圆的一般样本形式:

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可见红色和蓝色的点被映射到了不同的平面,在更高维空间中是线性可分的(用一个平面去分割)。

上述例子中的样本点的分布遵循圆的分布。继续推广到椭圆的一般样本形式:

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上图的两类数据分布为两个椭圆的形状,这样的数据本身就是不可分的。不难发现,这两个半径不同的椭圆是加上了少量的噪音生成得到的。所以,一个理想的分界应该也是一个椭圆,而不是一个直线。如果用X1和X2来表示这个二维平面的两个坐标的话,我们知道这个分界椭圆可以写为:

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这个方程就是高中学过的椭圆一般方程。注意上面的形式,如果我们构造另外一个五维的空间,其中五个坐标的值分别为:

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那么,显然我们可以将这个分界的椭圆方程写成如下形式:

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这个关于新的坐标Z1,Z2,Z3,Z4,Z5的方程,就是一个超平面方程,它的维度是5。也就是说,如果我们做一个映射 ϕ : 二维 → 五维,将 X1,X2按照上面的规则映射为 Z1,Z2,··· ,Z5,那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的,从而使用之前我们推导的线性分类算法就可以进行处理了。

我们举个简单的计算例子,现在假设已知的映射函数为:

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这个是一个从2维映射到5维的例子。如果没有使用核函数,根据上一小节的介绍,我们需要先结算映射后的结果,然后再进行内积运算。那么对于两个向量a1=(x1,x2)和a2=(y1,y2)有:

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另外,如果我们不进行映射计算,直接运算下面的公式:

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你会发现,这两个公式的计算结果是相同的。区别在于什么呢?

  • 一个是根据映射函数,映射到高维空间中,然后再根据内积的公式进行计算,计算量大;
  • 另一个则直接在原来的低维空间中进行计算,而不需要显式地写出映射后的结果,计算量小。

其实,在这个例子中,核函数就是:

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我们通过k(x1,x2)的低维运算得到了先映射再内积的高维运算的结果,这就是核函数的神奇之处,它有效减少了我们的计算量。在这个例子中,我们对一个2维空间做映射,选择的新的空间是原始空间的所以一阶和二阶的组合,得到了5维的新空间;如果原始空间是3维的,那么我们会得到19维的新空间,这个数目是呈爆炸性增长的。如果我们使用ϕ(·)做映射计算,难度非常大,而且如果遇到无穷维的情况,就根本无从计算了。所以使用核函数进行计算是非常有必要的。

3、核技巧的实现

通过核技巧的转变,我们的分类函数变为:

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我们的对偶问题变成了:

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这样,我们就避开了高纬度空间中的计算。当然,我们刚刚的例子是非常简单的,我们可以手动构造出来对应映射的核函数出来,如果对于任意一个映射,要构造出对应的核函数就很困难了。因此,通常,人们会从一些常用的核函数中进行选择,根据问题和数据的不同,选择不同的参数,得到不同的核函数。接下来,要介绍的就是一个非常流行的核函数,那就是径向基核函数。

径向基核函数是SVM中常用的一个核函数。径向基核函数采用向量作为自变量的函数,能够基于向量举例运算输出一个标量。径向基核函数的高斯版本的公式如下:

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其中,σ是用户自定义的用于确定到达率(reach)或者说函数值跌落到0的速度参数。上述高斯核函数将数据从原始空间映射到无穷维空间。关于无穷维空间,我们不必太担心。高斯核函数只是一个常用的核函数,使用者并不需要确切地理解数据到底是如何表现的,而且使用高斯核函数还会得到一个理想的结果。如果σ选得很大的话,高次特征上的权重实际上衰减得非常快,所以实际上(数值上近似一下)相当于一个低维的子空间;反过来,如果σ选得很小,则可以将任意的数据映射为线性可分——当然,这并不一定是好事,因为随之而来的可能是非常严重的过拟合问题。不过,总的来说,通过调控参数σ,高斯核实际上具有相当高的灵活性,也是使用最广泛的核函数之一。

四、编程实现非线性SVM

接下来,我们将使用testSetRBF.txt和testSetRBF2.txt,前者作为训练集,后者作为测试集。数据集下载地址:

1、可视化数据集

我们先编写程序简单看下数据集:

程序运行结果:

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可见,数据明显是线性不可分的。下面我们根据公式,编写核函数,并增加初始化参数kTup用于存储核函数有关的信息,同时我们只要将之前的内积运算变成核函数的运算即可。最后编写testRbf()函数,用于测试。创建svmMLiA.py文件,编写代码如下:

运行结果如下图所示:

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可以看到,训练集错误率为1%,测试集错误率都是4%,训练耗时1.7s 。可以尝试更换不同的K1参数以观察测试错误率、训练错误率、支持向量个数随k1的变化情况。你会发现K1过大,会出现过拟合的情况,即训练集错误率低,但是测试集错误率高。

五、Sklearn构建SVM分类器

在第一篇文章中,我们使用了kNN进行手写数字识别。它的缺点是存储空间大,因为要保留所有的训练样本,如果你的老板让你节约这个内存空间,并达到相同的识别效果,甚至更好。那这个时候,我们就要可以使用SVM了,因为它只需要保留支持向量即可,而且能获得可比的效果。

使用的数据集还是kNN用到的数据集(testDigits和trainingDigits):

如果对这个数据集不了解的,可以先看看我的第一篇文章:

CSDN:点我查看

知乎:点我查看

首先,我们先使用自己用python写的代码进行训练。创建文件svm-digits.py文件,编写代码如下:

SMO算法实现部分跟上文是一样的,我们新创建了img2vector()、loadImages()、testDigits()函数,它们分别用于二进制图形转换、图片加载、训练SVM分类器。我们自己的SVM分类器是个二类分类器,所以在设置标签的时候,将9作为负类,其余的0-8作为正类,进行训练。这是一种'ovr'思想,即one vs rest,就是对一个类别和剩余所有的类别进行分类。如果想实现10个数字的识别,一个简单的方法是,训练出10个分类器。这里简单起见,只训练了一个用于分类9和其余所有数字的分类器,运行结果如下:

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可以看到,虽然我们进行了所谓的"优化",但是训练仍然很耗时,迭代10次,花费了307.4s。因为我们没有多进程、没有设置自动的终止条件,总之一句话,需要优化的地方太多了。尽管如此,我们训练后得到的结果还是不错的,可以看到训练集错误率为0,测试集错误率也仅为0.01%。

接下来,就是讲解本文的重头戏:sklearn.svm.SVC。

1、sklearn.svm.SVC

官方英文文档手册:

sklearn.svm模块提供了很多模型供我们使用,本文使用的是svm.SVC,它是基于libsvm实现的。

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让我们先看下SVC这个函数,一共有14个参数:

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参数说明如下:

  • C:惩罚项,float类型,可选参数,默认为1.0,C越大,即对分错样本的惩罚程度越大,因此在训练样本中准确率越高,但是泛化能力降低,也就是对测试数据的分类准确率降低。相反,减小C的话,容许训练样本中有一些误分类错误样本,泛化能力强。对于训练样本带有噪声的情况,一般采用后者,把训练样本集中错误分类的样本作为噪声。
  • kernel:核函数类型,str类型,默认为'rbf'。可选参数为:
    • 'linear':线性核函数
    • 'poly':多项式核函数
    • 'rbf':径像核函数/高斯核
    • 'sigmod':sigmod核函数
    • 'precomputed':核矩阵
    • precomputed表示自己提前计算好核函数矩阵,这时候算法内部就不再用核函数去计算核矩阵,而是直接用你给的核矩阵,核矩阵需要为n*n的。
  • degree:多项式核函数的阶数,int类型,可选参数,默认为3。这个参数只对多项式核函数有用,是指多项式核函数的阶数n,如果给的核函数参数是其他核函数,则会自动忽略该参数。
  • gamma:核函数系数,float类型,可选参数,默认为auto。只对'rbf' ,'poly' ,'sigmod'有效。如果gamma为auto,代表其值为样本特征数的倒数,即1/n_features。
  • coef0:核函数中的独立项,float类型,可选参数,默认为0.0。只有对'poly' 和,'sigmod'核函数有用,是指其中的参数c。
  • probability:是否启用概率估计,bool类型,可选参数,默认为False,这必须在调用fit()之前启用,并且会fit()方法速度变慢。
  • shrinking:是否采用启发式收缩方式,bool类型,可选参数,默认为True。
  • tol:svm停止训练的误差精度,float类型,可选参数,默认为1e^-3。
  • cache_size:内存大小,float类型,可选参数,默认为200。指定训练所需要的内存,以MB为单位,默认为200MB。
  • class_weight:类别权重,dict类型或str类型,可选参数,默认为None。给每个类别分别设置不同的惩罚参数C,如果没有给,则会给所有类别都给C=1,即前面参数指出的参数C。如果给定参数'balance',则使用y的值自动调整与输入数据中的类频率成反比的权重。
  • verbose:是否启用详细输出,bool类型,默认为False,此设置利用libsvm中的每个进程运行时设置,如果启用,可能无法在多线程上下文中正常工作。一般情况都设为False,不用管它。
  • max_iter:最大迭代次数,int类型,默认为-1,表示不限制。
  • decision_function_shape:决策函数类型,可选参数'ovo'和'ovr',默认为'ovr'。'ovo'表示one vs one,'ovr'表示one vs rest。
  • random_state:数据洗牌时的种子值,int类型,可选参数,默认为None。伪随机数发生器的种子,在混洗数据时用于概率估计。

其实,只要自己写了SMO算法,每个参数的意思,大概都是能明白的。

2、编写代码

SVC很是强大,我们不用理解算法实现的具体细节,不用理解算法的优化方法。同时,它也满足我们的多分类需求。创建文件svm-svc.py文件,编写代码如下:

代码和kNN的实现是差不多的,就是换了个分类器而已。运行结果如下:

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可以看到,训练和测试的时间总共加起来才7.3s。而且,测试集的错误率仅为1.37%。试着改变SVC的参数,慢慢体会一下吧~

六、总结

1、SVM的优缺点

优点

  • 可用于线性/非线性分类,也可以用于回归,泛化错误率低,也就是说具有良好的学习能力,且学到的结果具有很好的推广性。
  • 可以解决小样本情况下的机器学习问题,可以解决高维问题,可以避免神经网络结构选择和局部极小点问题。
  • SVM是最好的现成的分类器,现成是指不加修改可直接使用。并且能够得到较低的错误率,SVM可以对训练集之外的数据点做很好的分类决策。

缺点

  • 对参数调节和和函数的选择敏感。

2、其他

  • 至此,关于SVM的文章已经写完,还有一些理论和细节,可能会在今后的文章提及。
  • 下篇文章将讲解AdaBoost,欢迎各位的捧场!
  • 如有问题,请留言。如有错误,还望指正,谢谢!

PS: 如果觉得本篇本章对您有所帮助,欢迎关注、评论、赞!

参考资料:

Jack Cui

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目前评论:4   其中:访客  2   博主  2

    • avatar biancheng 来自天朝的朋友 火狐浏览器 Windows 7 广东省深圳市 电信 2

      遇见了一个奇异的现象,用sklearn库实现SVM,直接用你的代码,铁定的,结果跟你的一模一样,错误13个,重复几次都是一样。
      我自己的,就是读取的数据方式和你的不一样,但最终生成的训练集都是一样的,但我的结果错误一直都是0个…
      总感觉不对劲…. :???:

        • avatar Jack Cui Admin 来自天朝的朋友 谷歌浏览器 Windows 7 辽宁省沈阳市 东北大学四舍(女生)

          @biancheng 呃,哈哈,你sklearn的svm还牛逼?
          不一定,sklearn的svm有默认参数,里面带防止过拟合的。
          自己写的代码错误率为0,可能是过拟合了,不过感觉也不应该百分之0,是不是你输出错了?

            • avatar biancheng 来自天朝的朋友 火狐浏览器 Windows 7 广东省深圳市 电信 2

              @Jack Cui def loadtxt(file):
              filelist = os.listdir(file)
              trainglist = np.zeros((len(filelist),1024))
              traingdata = np.zeros((1,1024))
              trainglabel = []
              m = 0
              for i in filelist:
              f = open(file+i,’r’,encoding=’utf-8′)
              n = 0
              for j in f.readlines():
              num = len(list(j.strip()))
              traingdata[:,n:n+num] = list(j.strip())
              n += num
              trainglist[m,:] = traingdata
              trainglabel.append(int((i.split(‘_’))[0]))
              m += 1
              return trainglist,trainglabel

              def main():
              filepath1 = ‘./trainingDigits/’
              trainglist,trainglabel = loadtxt(filepath1)
              filepath2 = ‘./testDigits/’
              clf = SVC(C=200,kernel=’rbf’)
              clf.fit(trainglist,trainglabel)
              testdata = np.zeros((1,1024))
              for i in os.listdir(filepath2):
              f = open(filepath2+i,’r’,encoding=’utf-8′)
              n = 0
              for j in f.readlines():
              num = len(list(j.strip()))
              testdata[:,n:n+num] = list(j.strip())
              n += num
              classifierResult = clf.predict(testdata)
              classNumber = int(i.split(‘_’)[0])
              errorCount = 0
              print(“分类返回结果为%d\t真实结果为%d” % (classifierResult, classNumber))
              if(classifierResult != classNumber):
              errorCount += 1.0
              print(“总共错了%d个数据\n错误率为%f%%” % (errorCount, errorCount/len(os.listdir(filepath2)) * 100))

              if __name__==’__main__’:
              main()

              和你的代码,只是在读取数据集的方法上略有不同,模型的参数和你的一致。

                • avatar Jack Cui Admin 来自天朝的朋友 谷歌浏览器 Windows 7 辽宁省沈阳市 东北大学四舍(女生)

                  @biancheng 貌似没啥问题~ :shock: