剑指Offer(三十一):整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)

2017年12月27日09:58:10 发表评论 585 °C
摘要

输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。

剑指Offer(三十一):整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)

一、前言

本系列文章为《剑指Offer》刷题笔记。

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二、题目

输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12,从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。

1、思路

两种方法,一种是从1到n遍历,每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1,大于10的除以10之后再判断。我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n,n有O(logn)位,我们需要判断每一位是不是1,那么时间复杂度为O(n*logn)。这样做,计算量大,效率不高。

本文采用数学之美上面提出的方法,设定整数点(如1、10、100等等)作为位置点i(对应n的各位、十位、百位等等),分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析。

  • 根据设定的整数位置,对n进行分割,分为两部分,高位n/i,低位n%i
  • 当i表示百位,且百位对应的数>=2,如n=31456,i=100,则a=314,b=56,此时百位为1的次数有a/10+1=32(最高两位0~31),每一次都包含100个连续的点,即共有(a/10+1)*100个点的百位为1
  • 当i表示百位,且百位对应的数为1,如n=31156,i=100,则a=311,b=56,此时百位对应的就是1,则共有a/10(最高两位0-30)次是包含100个连续点,当最高两位为31(即a=311),本次只对应局部点00~56,共b+1次,所有点加起来共有(a/10*100)+(b+1),这些点百位对应为1
  • 当i表示百位,且百位对应的数为0,如n=31056,i=100,则a=310,b=56,此时百位为1的次数有a/10=31(最高两位0~30)
  • 综合以上三种情况,当百位对应0或>=2时,有(a+8)/10次包含所有100个点,还有当百位为1(a%10==1),需要增加局部点b+1
  • 之所以补8,是因为当百位为0,则a/10==(a+8)/10,当百位>=2,补8会产生进位位,效果等同于(a/10+1)

2、代码

C++:

Python:

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Jack Cui

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