剑指Offer(三十五):数组中的逆序对

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摘要

在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。

剑指Offer(三十五):数组中的逆序对

一、前言

本系列文章为《剑指Offer》刷题笔记。

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二、题目

在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007。

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围:

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

输入:

输出:

1、思路

如数组{7,5,6,4},逆序对总共有5对,{7,5},{7,6},{7,4},{5,4},{6,4};

思路1:暴力解法,顺序扫描整个数组,每扫描到一个数字的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成一个逆序对。假设数组中含有n个数字,由于每个数字都要和O(n)个数字作比较,因此这个算法的时间复杂度是O(n^2)。

思路2:分治思想,采用归并排序的思路来处理,如下图,先分后治:

剑指Offer(三十五):数组中的逆序对

先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分解成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7>5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6},{4}中也有逆序对(6,4),由于已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组进行排序,避免在之后的统计过程中重复统计。

剑指Offer(三十五):数组中的逆序对

逆序对的总数 = 左边数组中的逆序对的数量 + 右边数组中逆序对的数量 + 左右结合成新的顺序数组时中出现的逆序对的数量

总结一下:

这是一个归并排序的合并过程,主要是考虑合并两个有序序列时,计算逆序对数。

对于两个升序序列,设置两个下标:两个有序序列的末尾。每次比较两个末尾值,如果前末尾大于后末尾值,则有”后序列当前长度“个逆序对;否则不构成逆序对。然后把较大值拷贝到辅助数组的末尾,即最终要将两个有序序列合并到辅助数组并有序。

这样,每次在合并前,先递归地处理左半段、右半段,则左、右半段有序,且左右半段的逆序对数可得到,再计算左右半段合并时逆序对的个数。

2、代码

C++:

注意:InversePairsCore形参的顺序是(data,copy),而递归调用时实参是(copy,data)。

要明白递归函数InversePairsCore的作用就行了,它是对data的左右半段进行合并,复制到辅助数组copy中有序。最后,data和copy两个数组都是有序的。

Jack Cui

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