一、前言
本系列文章为《剑指Offer》刷题笔记。
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二、题目
在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007。
输入描述：
题目保证输入的数组中没有的相同的数字
数据范围：
对于%50的数据,size<=10^4
对于%75的数据,size<=10^5
对于%100的数据,size<=2*10^5
输入：
1 | 1,2,3,4,5,6,7,0 |
输出：
1 | 7 |
1、思路
如数组{7,5,6,4}，逆序对总共有5对，{7,5}，{7,6}，{7,4}，{5,4}，{6,4}；
思路1：暴力解法，顺序扫描整个数组，每扫描到一个数字的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成一个逆序对。假设数组中含有n个数字，由于每个数字都要和O(n)个数字作比较，因此这个算法的时间复杂度是O(n^2)。
思路2：分治思想，采用归并排序的思路来处理，如下图，先分后治：
先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分解成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7>5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}，{4}中也有逆序对（6,4），由于已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组进行排序，避免在之后的统计过程中重复统计。
逆序对的总数 = 左边数组中的逆序对的数量 + 右边数组中逆序对的数量 + 左右结合成新的顺序数组时中出现的逆序对的数量
总结一下：
这是一个归并排序的合并过程，主要是考虑合并两个有序序列时，计算逆序对数。
对于两个升序序列，设置两个下标：两个有序序列的末尾。每次比较两个末尾值，如果前末尾大于后末尾值，则有”后序列当前长度“个逆序对；否则不构成逆序对。然后把较大值拷贝到辅助数组的末尾，即最终要将两个有序序列合并到辅助数组并有序。
这样，每次在合并前，先递归地处理左半段、右半段，则左、右半段有序，且左右半段的逆序对数可得到，再计算左右半段合并时逆序对的个数。
2、代码
C++：
注意：InversePairsCore形参的顺序是(data,copy)，而递归调用时实参是(copy,data)。
要明白递归函数InversePairsCore的作用就行了，它是对data的左右半段进行合并，复制到辅助数组copy中有序。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 | class Solution { public: int InversePairs(vector<int> data) { if(data.size() == 0){ return 0; } // 排序的辅助数组 vector<int> copy; for(int i = 0; i < data.size(); ++i){ copy.push_back(data[i]); } return InversePairsCore(data, copy, 0, data.size() - 1) % 1000000007; } long InversePairsCore(vector<int> &data, vector<int> ©, int begin, int end){ // 如果指向相同位置，则没有逆序对。 if(begin == end){ copy[begin] = data[end]; return 0; } // 求中点 int mid = (end + begin) >> 1; // 使data左半段有序，并返回左半段逆序对的数目 long leftCount = InversePairsCore(copy, data, begin, mid); // 使data右半段有序，并返回右半段逆序对的数目 long rightCount = InversePairsCore(copy, data, mid + 1, end); int i = mid; // i初始化为前半段最后一个数字的下标 int j = end; // j初始化为后半段最后一个数字的下标 int indexcopy = end; // 辅助数组复制的数组的最后一个数字的下标 long count = 0; // 计数，逆序对的个数，注意类型 while(i >= begin && j >= mid + 1){ if(data[i] > data[j]){ copy[indexcopy--] = data[i--]; count += j - mid; } else{ copy[indexcopy--] = data[j--]; } } for(;i >= begin; --i){ copy[indexcopy--] = data[i]; } for(;j >= mid + 1; --j){ copy[indexcopy--] = data[j]; } return leftCount + rightCount + count; } }; |
Python：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 | # -*- coding:utf-8 -*- class Solution: def InversePairs(self, data): # write code here if not data: return 0 temp = [i for i in data] return self.mergeSort(temp, data, 0, len(data)-1) % 1000000007 def mergeSort(self, temp, data, low, high): if low >= high: temp[low] = data[low] return 0 mid = (low + high) / 2 left = self.mergeSort(data, temp, low, mid) right = self.mergeSort(data, temp, mid+1, high) count = 0 i = low j = mid+1 index = low while i <= mid and j <= high: if data[i] <= data[j]: temp[index] = data[i] i += 1 else: temp[index] = data[j] count += mid-i+1 j += 1 index += 1 while i <= mid: temp[index] = data[i] i += 1 index += 1 while j <= high: temp[index] = data[j] j += 1 index += 1 return count + left + right |
2018年7月21日 下午1:51 沙发
大哥 你这个表示很不清楚，不容易理解，建议增加以下内容：
如上图在（a）图中：
是两个排好序的数组，一个是5，7，另一个是4，6.
我们用两个指针P1和P2，一个指向左边那么数组的未尾，一个指向右边那么数组的未尾。
于是我们比较P1和P2所指向的这两个数，由于P1指向的数大于P2指向的数，又由于我们右
边的那个数组是从小到大排好序的，于是逆序数就是P2加它左边的数=2了。然后我们将
P1指向的数放入辅助数组中，用P3指示。P1左移一位。P2保持不动
（b）图中：
由于P1比P2小，因此此时P2指向的数无用了。因为P1应该是在左边的数组中属于最大的了
于是将P2指向的数复制到P3。然后将P2左移一位。
（C）图中：
和（a) 图相似了。
2018年7月22日 下午12:37 1层
@爱看的剧 感谢，你留言了，别人就能看到了，哈哈。
2018年7月21日 下午3:15 板凳
之所以交换copy和data的顺序是因为：
首先data=copy，经过排序后data左半部分仍旧乱序，但copy左半部分已经存储了排好序的data左半部分，即已经保存了data左半部分的信息，这样在向上层递归时，data左半部分本身可以作为容器，copy左半部分作为已经排好序的一个单元，即代拍序列的一个元素。
2018年12月3日 上午11:18 地板
大神请问一下，InversePairs中返回的int，调用的InversePairsCore返回的是long，这个最终结果岂不是还是int型吗？
2018年12月3日 上午11:20 1层
@裸奔的麻瓜 因为合并之后可能超出int范围，所以用long，而最终结果输出P%1000000007，所以int就行。
2019年2月24日 下午3:58 4楼
为啥C++和Python是反过来的
2019年2月24日 下午4:47 1层
@cgzjdx 理解了。。。刚才脑子混乱了
2019年2月25日 上午10:29 2层
@cgzjdx
2019年5月19日 下午4:40 5楼
python 运行超时:您的程序未能在规定时间内运行结束，请检查是否循环有错或算法复杂度过大。
case通过率为75.00%
in nowcoder
2019年5月20日 上午9:43 1层
@muyi 超时的话，可以将数组改为树状数组试试，我当时是能通过的。有可能后面更新了。
2019年5月29日 上午10:14 6楼
最后，data和copy两个数组都是有序的。
这里应该错了,最后是temp有序,data左右俩段分别有序
顺便感谢博主的刷题笔记
2019年5月30日 下午2:03 1层
@hello
2019年6月19日 上午11:13 7楼
大神，请问一下，C++版本的最后那两个for循环是干啥的？
2019年6月20日 下午3:33 1层
@meto 将数据合并