深度学习实战教程(六)：长短时记忆网络(LSTM)

往期回顾

在上一篇文章中，我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。我们也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本文中，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的RNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，LSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTM之后，我们再介绍一种LSTM的变体：GRU (Gated Recurrent Unit)。 它的结构比LSTM简单，而效果却和LSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。最后，我们仍然会动手实现一个LSTM。

长短时记忆网络是啥

我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。回顾一下深度学习实战教程(五)：循环神经网络中推导的，误差项沿时间反向传播的公式：

我们可以根据下面的不等式，来获取\(\delta_k^T\)的模的上界（模可以看做对\(\delta_k^T\)中每一项值的大小的度量）：

我们可以看到，误差项\(\delta\)从t时刻传递到k时刻，其值的上界是\(\beta_f\beta_w\)的指数函数。\(\beta_f\beta_w\)分别是对角矩阵\(diag[f'(\mathbf{net}_{i})]\)和矩阵W模的上界。显然，除非\(\beta_f\beta_w\)乘积的值位于1附近，否则，当t-k很大时（也就是误差传递很多个时刻时），整个式子的值就会变得极小（当\(\beta_f\beta_w\)乘积小于1）或者极大（当\(\beta_f\beta_w\)乘积大于1），前者就是梯度消失，后者就是梯度爆炸。虽然科学家们搞出了很多技巧（比如怎样初始化权重），让\(\beta_f\beta_w\)的值尽可能贴近于1，终究还是难以抵挡指数函数的威力。

梯度消失到底意味着什么？在深度学习实战教程(五)：循环神经网络中我们已证明，权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和，即：

假设某轮训练中，各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图：

我们就可以看到，从上图的t-3时刻开始，梯度已经几乎减少到0了。那么，从这个时刻开始再往之前走，得到的梯度（几乎为零）就不会对最终的梯度值有任何贡献，这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么，在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响，也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。

既然找到了问题的原因，那么我们就能解决它。从问题的定位到解决，科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天，Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络，一举解决这个问题。

其实，长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：

新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：

上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值\(\mathbf{x}_t\)、上一时刻LSTM的输出值\(\mathbf{h}_{t-1}\)、以及上一时刻的单元状态\(\mathbf{c}_{t-1}\)；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值\(\mathbf{h}_{t}\)、和当前时刻的单元状态\(\mathbf{c}_{t}\)。注意x、h、c都是向量。

LSTM的关键，就是怎样控制长期状态c。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态c；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态c；第三个开关，负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：

接下来，我们要描述一下，输出h和单元状态c的具体计算方法。

长短时记忆网络的前向计算

前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢？这就用到了门（gate）的概念。门实际上就是一层全连接层，它的输入是一个向量，输出是一个0到1之间的实数向量。假设W是门的权重向量，b是偏置项，那么门可以表示为：

门的使用，就是用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量。因为门的输出是0到1之间的实数向量，那么，当门输出为0时，任何向量与之相乘都会得到0向量，这就相当于啥都不能通过；输出为1时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于啥都可以通过。因为\(\sigma\)（也就是sigmoid函数）的值域是(0,1)，所以门的状态都是半开半闭的。

LSTM用两个门来控制单元状态c的内容，一个是遗忘门（forget gate），它决定了上一时刻的单元状态\(\mathbf{c}_{t-1}\)有多少保留到当前时刻\(\mathbf{c}_{t}\)；另一个是输入门（input gate），它决定了当前时刻网络的输入\(\mathbf{x}_t\)有多少保存到单元状态\(\mathbf{c}_{t}\)。LSTM用输出门（output gate）来控制单元状态\(\mathbf{c}_{t}\)有多少输出到LSTM的当前输出值\(\mathbf{h}_t\)。

我们先来看一下遗忘门：

上式中，\(W_f\)是遗忘门的权重矩阵，\([\mathbf{h}_{t-1},\mathbf{x}_t]\)表示把两个向量连接成一个更长的向量，\(\mathbf{b}_f\)是遗忘门的偏置项，\(\sigma\)是sigmoid函数。如果输入的维度是\(d_x\)，隐藏层的维度是\(d_h\)，单元状态的维度是\(d_c\)（通常\(d_c=d_h\)），则遗忘门的权重矩阵\(W_f\)维度是\(d_c\times (d_h+d_x)\)。事实上，权重矩阵\(W_f\)都是两个矩阵拼接而成的：一个是\(W_{fh}\)，它对应着输入项\(\mathbf{h}_{t-1}\)，其维度为\(d_c\times d_h\)；一个是\(W_{fx}\)，它对应着输入项\(\mathbf{x}_t\)，其维度为\(d_c\times d_x\)。\(W_f\)可以写为：

下图显示了遗忘门的计算：

接下来看看输入门：

上式中，\(W_i\)是输入门的权重矩阵，\(\mathbf{b}_i\)是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算：

接下来，我们计算用于描述当前输入的单元状态\(\mathbf{\tilde{c}}_t\)，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：

下图是\(\mathbf{\tilde{c}}_t\)的计算：

现在，我们计算当前时刻的单元状态\(\mathbf{c}_t\)。它是由上一次的单元状态\(\mathbf{c}_{t-1}\)按元素乘以遗忘门\(f_t\)，再用当前输入的单元状态\(\mathbf{\tilde{c}}_t\)按元素乘以输入门\(i_t\)，再将两个积加和产生的：

符号\(\circ\)表示按元素乘。下图是\(\mathbf{c}_t\)的计算：

这样，我们就把LSTM关于当前的记忆\(\mathbf{\tilde{c}}_t\)和长期的记忆\(\mathbf{c}_{t-1}\)组合在一起，形成了新的单元状态\(\mathbf{c}_{t}\)。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。下面，我们要看看输出门，它控制了长期记忆对当前输出的影响：

下图表示输出门的计算：

LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：

下图表示LSTM最终输出的计算：

式1到式6就是LSTM前向计算的全部公式。至此，我们就把LSTM前向计算讲完了。

长短时记忆网络的训练

熟悉我们这个系列文章的同学都清楚，训练部分往往比前向计算部分复杂多了。LSTM的前向计算都这么复杂，那么，可想而知，它的训练算法一定是非常非常复杂的。现在只有做几次深呼吸，再一头扎进公式海洋吧。

LSTM训练算法框架

LSTM的训练算法仍然是反向传播算法，对于这个算法，我们已经非常熟悉了。主要有下面三个步骤：

1. 前向计算每个神经元的输出值，对于LSTM来说，即\(\mathbf{f}_t\)、\(\mathbf{i}_t\)、\(\mathbf{c}_t\)、\(\mathbf{o}_t\)、\(\mathbf{h}_t\)五个向量的值。计算方法已经在上一节中描述过了。
2. 反向计算每个神经元的误差项\(\delta\)值。与循环神经网络一样，LSTM误差项的反向传播也是包括两个方向：一个是沿时间的反向传播，即从当前t时刻开始，计算每个时刻的误差项；一个是将误差项向上一层传播。
3. 根据相应的误差项，计算每个权重的梯度。

关于公式和符号的说明

首先，我们对推导中用到的一些公式、符号做一下必要的说明。

接下来的推导中，我们设定gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh函数。他们的导数分别为：

从上面可以看出，sigmoid和tanh函数的导数都是原函数的函数。这样，我们一旦计算原函数的值，就可以用它来计算出导数的值。

LSTM需要学习的参数共有8组，分别是：遗忘门的权重矩阵\(W_f\)和偏置项\(b_f\)、输入门的权重矩阵\(W_i\)和偏置项\(b_i\)、输出门的权重矩阵\(W_o\)和偏置项\(b_o\)，以及计算单元状态的权重矩阵\(W_c\)和偏置项\(b_c\)。因为权重矩阵的两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵\(W_f\)、\(W_i\)、\(W_c\)、\(W_o\)都将被写为分开的两个矩阵：\(W_{fh}\)、\(W_{fx}\)、\(W_{ih}\)、\(W_{ix}\)、\(W_{oh}\)、\(W_{ox}\)、\(W_{ch}\)、\(W_{cx}\)。

我们解释一下按元素乘\(\circ\)符号。当\(\circ\)作用于两个向量时，运算如下：

当\(\circ\)作用于一个向量和一个矩阵时，运算如下：

当\(\circ\)作用于两个矩阵时，两个矩阵对应位置的元素相乘。按元素乘可以在某些情况下简化矩阵和向量运算。例如，当一个对角矩阵右乘一个矩阵时，相当于用对角矩阵的对角线组成的向量按元素乘那个矩阵：

当一个行向量右乘一个对角矩阵时，相当于这个行向量按元素乘那个矩阵对角线组成的向量：

上面这两点，在我们后续推导中会多次用到。

在t时刻，LSTM的输出值为\(\mathbf{h}_t\)。我们定义t时刻的误差项\(\delta_t\)为：

注意，和前面几篇文章不同，我们这里假设误差项是损失函数对输出值的导数，而不是对加权输入\(net_t^l\)的导数。因为LSTM有四个加权输入，分别对应\(\mathbf{f}_t\)、\(\mathbf{i}_t\)、\(\mathbf{c}_t\)、\(\mathbf{o}_t\)，我们希望往上一层传递一个误差项而不是四个。但我们仍然需要定义出这四个加权输入，以及他们对应的误差项。

误差项沿时间的反向传递

沿时间反向传递误差项，就是要计算出t-1时刻的误差项\(\delta_{t-1}\)。

我们知道，\(\frac{\partial{\mathbf{h_t}}}{\partial{\mathbf{h_{t-1}}}}\)是一个Jacobian矩阵。如果隐藏层h的维度是N的话，那么它就是一个\(N\times N\)矩阵。为了求出它，我们列出\(\mathbf{h}_t\)的计算公式，即前面的式6和式4：

显然，\(\mathbf{o}_t\)、\(\mathbf{f}_t\)、\(\mathbf{i}_t\)、\(\mathbf{f}_t\)、\(\mathbf{\tilde{c}}_t\)都是\(\mathbf{h}_{t-1}\)的函数，那么，利用全导数公式可得：

下面，我们要把式7中的每个偏导数都求出来。根据式6，我们可以求出：

根据式4，我们可以求出：

因为：

我们很容易得出：

将上述偏导数带入到式7，我们得到：

根据\(\delta_{o,t}\)、\(\delta_{f,t}\)、\(\delta_{i,t}\)、\(\delta_{\tilde{c},t}\)的定义，可知：

式8到式12就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它，我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式：

将误差项传递到上一层

我们假设当前为第l层，定义l-1层的误差项是误差函数对l-1层加权输入的导数，即：

本次LSTM的输入\(x_t\)由下面的公式计算：

上式中，\(f^{l-1}\)表示第l-1层的激活函数。

因为\(\mathbf{net}_{f,t}^l\)、\(\mathbf{net}_{i,t}^l\)、\(\mathbf{net}_{\tilde{c},t}^l\)、\(\mathbf{net}_{o,t}^l\)都是\(\mathbf{x}_t\)的函数，\(\mathbf{x}_t\)又是\(\mathbf{net}_t^{l-1}\)的函数，因此，要求出E对\(\mathbf{net}_t^{l-1}\)的导数，就需要使用全导数公式：

式14就是将误差传递到上一层的公式。

权重梯度的计算

对于\(W_{fh}\)、\(W_{ih}\)、\(W_{ch}\)、\(W_{oh}\)的权重梯度，我们知道它的梯度是各个时刻梯度之和（证明过程请参考文章深度学习实战教程(五)：循环神经网络，我们首先求出它们在t时刻的梯度，然后再求出他们最终的梯度。

我们已经求得了误差项您需要选择一个短代码\(\delta_{o,t}\)、\(\delta_{f,t}\)、\(\delta_{i,t}\)、\(\delta_{\tilde{c},t}\)，很容易求出t时刻的\(W_{oh}\)、\(W_{ih}\)、\(W_{fh}\)、\(W_{ch}\)：

将各个时刻的梯度加在一起，就能得到最终的梯度：

对于偏置项\(\mathbf{b}_f\)、\(\mathbf{b}_i\)、\(\mathbf{b}_c\)、\(\mathbf{b}_o\)的梯度，也是将各个时刻的梯度加在一起。下面是各个时刻的偏置项梯度：

下面是最终的偏置项梯度，即将各个时刻的偏置项梯度加在一起：

对于\(W_{fx}\)、\(W_{ix}\)、\(W_{cx}\)、\(W_{ox}\)的权重梯度，只需要根据相应的误差项直接计算即可：

以上就是LSTM的训练算法的全部公式。因为这里面存在很多重复的模式，仔细看看，会发觉并不是太复杂。

当然，LSTM存在着相当多的变体，读者可以在互联网上找到很多资料。因为大家已经熟悉了基本LSTM的算法，因此理解这些变体比较容易，因此本文就不再赘述了。

长短时记忆网络的实现

完整代码请参考GitHub：点击查看

在下面的实现中，LSTMLayer的参数包括输入维度、输出维度、隐藏层维度，单元状态维度等于隐藏层维度。gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh。

激活函数的实现

我们先实现两个激活函数：sigmoid和tanh。

LSTM初始化

和前两篇文章代码架构一样，我们把LSTM的实现放在LstmLayer类中。

根据LSTM前向计算和方向传播算法，我们需要初始化一系列矩阵和向量。这些矩阵和向量有两类用途，一类是用于保存模型参数，例如\(W_f\)、\(W_i\)、\(W_o\)、\(b_f\)、\(b_i\)、\(b_o\)、\(b_c\)；另一类是保存各种中间计算结果，以便于反向传播算法使用，它们包括\(\mathbf{h}_t\)、\(\mathbf{f}_t\)、\(\mathbf{i}_t\)、\(\mathbf{o}_t\)、\(\mathbf{c}_t\)、\(\mathbf{\tilde{c}}_t\)、\(\delta_t\)、\(\delta_{f,t}\)、\(\delta_{i,t}\)、\(\delta_{o,t}\)、\(\delta_{\tilde{c},t}\)，以及各个权重对应的梯度。

在构造函数的初始化中，只初始化了与forward计算相关的变量，与backward相关的变量没有初始化。这是因为构造LSTM对象的时候，我们还不知道它未来是用于训练（既有forward又有backward）还是推理（只有forward）。

前向计算的实现

forward方法实现了LSTM的前向计算：

从上面的代码我们可以看到，门的计算都是相同的算法，而门和\(\mathbf{\tilde{c}_t}\)的计算仅仅是激活函数不同。因此我们提出了calc_gate方法，这样减少了很多重复代码。

反向传播算法的实现

backward方法实现了LSTM的反向传播算法。需要注意的是，与backword相关的内部状态变量是在调用backward方法之后才初始化的。这种延迟初始化的一个好处是，如果LSTM只是用来推理，那么就不需要初始化这些变量，节省了很多内存。

算法主要分成两个部分，一部分使计算误差项：

另一部分是计算梯度：

梯度下降算法的实现

下面是用梯度下降算法来更新权重：

梯度检查的实现

和RecurrentLayer一样，为了支持梯度检查，我们需要支持重置内部状态：

最后，是梯度检查的代码：

我们只对\(W_{fh}\)做了检查，读者可以自行增加对其他梯度的检查。下面是某次梯度检查的结果：

GRU

前面我们讲了一种普通的LSTM，事实上LSTM存在很多变体，许多论文中的LSTM都或多或少的不太一样。在众多的LSTM变体中，GRU (Gated Recurrent Unit)也许是最成功的一种。它对LSTM做了很多简化，同时却保持着和LSTM相同的效果。因此，GRU最近变得越来越流行。

GRU对LSTM做了两个大改动：

1. 将输入门、遗忘门、输出门变为两个门：更新门（Update Gate）\(\mathbf{z}_t\)和重置门（Reset Gate）\(\mathbf{r}_t\)。
2. 将单元状态与输出合并为一个状态：h。

GRU的前向计算公式为：

下图是GRU的示意图：

GRU的训练算法比LSTM简单一些，留给读者自行推导，本文就不再赘述了。

小结

至此，LSTM——也许是结构最复杂的一类神经网络——就讲完了，相信拿下前几篇文章的读者们搞定这篇文章也不在话下吧！现在我们已经了解循环神经网络和它最流行的变体——LSTM，它们都可以用来处理序列。但是，有时候仅仅拥有处理序列的能力还不够，还需要处理比序列更为复杂的结构（比如树结构），这时候就需要用到另外一类网络：递归神经网络(Recursive Neural Network)，巧合的是，它的缩写也是RNN。在下一篇文章中，我们将介绍递归神经网络和它的训练算法。现在，漫长的烧脑暂告一段落，休息一下吧。

参考资料

1. CS224d: Deep Learning for Natural Language Processing
2. Understanding LSTM Networks
3. LSTM Forward and Backward Pass

原文链接：https://zybuluo.com/hanbingtao/note/581764

感谢原作者的付出！